Enunciado

Suponha que uma barra de metal uniforme tenha 50   c m de comprimento e esteja isolada lateralmente, enquanto as temperaturas nos extremos sejam mantidas a 25 e 85 ° C , respectivamente. Suponha que o eixo x seja escolhido conforme a figura abaixo e que a temperatura T ( x ) em cada ponto x satisfaça a equação

d 2 T d x 2 = 0

Encontre T ( x ) com 0 ≤ x ≤ 50 .

Passo 1

Bom galera, a gente começar com a derivada segunda da função que é:

d 2 T d x 2 = T ' ' ( x ) = 0

Quando integramos a primeira vez, ficamos com:

T ' x = C

Integrando novamento ficamos com:

T x = C x + K

Passo 2

Belezinha, no começo da barra ( x = 0 ) , temos a temperatura de 25 ° C , logo aplicamos na nossa função:

T 0 = 25

→ C 0 + K = 25

→ K = 25

Passo 3

Agora vamos testar a função no outro ponto conhecido, que é o fim da barra ( x = 50 ) , onde a temperatura é 85 ° C , para descobrirmos o valor de C :

T 50 = 85

→ C 50 + 25 = 85

→ C = 1,2

Assim nossa função fica:

T x = 1,2 x + 25

Resposta

T x = 1,2 x + 25

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