Enunciado

Suponha f x ,   y de classe C 2   na bola aberta B de centro   x 0 ,   y 0 e que as derivadas parciais de 2ª ordem sejam limitadas em   B . Prove que existe M > 0 tal que, para todo x ,   y ∈ B .

f x , y - P 1 x ,   y ≤ M x ,   y - x 0 ,   y 0 2

onde P 1 x ,   y é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

Relembre que

f x , y - P 1 x ,   y = | E |

Substituindo,

E = ∂ 2 f ∂ x 2 x - x 0 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y   y - y 0 x - x 0 + ∂ 2 f ∂ y 2   y - y 0 2

Usando a desigualdade triangular,

E ≤ ∂ 2 f ∂ x 2 x - x 0 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y y - y 0 x - x 0 + ∂ 2 f ∂ y 2   y - y 0 2

Suponha que a as derivadas sejam limitadas por um valor ϵ (claro que elas não precisam ser limitadas pelo mesmo cara, mas qualquer coisa so tomar o mínimo entre eles)Daí,

E ≤   ε x - x 0 2 +   ε | y - y 0 x - x 0 | +   ε y - y 0 2

Vamos melhorar as contas

E ≤   x - x 0 2 ε + ε 2 | y - y 0 x - x 0 | x - x 0 2 + y - y 0 2 ε + ε 2 | y - y 0 x - x 0 | y - y 0

Tomando M 1 =   ε + ε 2 y - y 0 x - x 0 x - x 0 2 e M 2 =   ε + ε 2 y - y 0 x - x 0 y - y 0  

E ≤ M 1 x - x 0 2 + M 2 y - y 0 2

Agora, considere M = min ⁡ M 1 ,   M 2

E ≤ x - x 0 2 M + y - y 0 2 M

Logo,

E ≤ M x - x 0 2 + y - y 0 2

Portanto,

f x , y - P 1 x ,   y ≤ M   x ,   y - x 0 ,   y 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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