Enunciado

Considere o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b , c , x 0 e y 0 constantes. Suponha que exista M > 0 tal que, para todo ( x , y ) ,

P x , y ≤ M   x , y - x 0 , y 0 2

Prove que P x , y = 0 em R 2 .

Passo 1

Bom, temos um polinômio definido em R 2 :

P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c

Por hipótese, temos que existe um M > 0 tal que para todo ( x , y ) :

P x , y ≤ M   x , y - x 0 , y 0 2

Queremos mostrar que com essa hipótese, P x , y = 0 . Para isso, vamos tentar provar que c = 0 , a = 0 e b = 0 nessa ordem!

Passo 2

Para provar que c = 0 , basta escolher x = x 0 e y = y 0 (podemos fazer isso pois a relação dada na hipótese vale para todo ( x , y ) ). Assim, temos que

P x , y = 0 + 0 + c = c ≤ M x 0 , y 0 - x 0 , y 0 2 = 0

A única forma possível de c ≤ 0 é se c = 0 .

Agora vamos escolher y = y 0 e deixar o x ser qualquer coisa. Neste caso:

x , y 0 - x 0 , y 0 2 = x - x 0 2

Assim,

P x , y = a   x - x 0 + 0 = a   x - x 0 ≤ M   x - x 0 2

Portanto,

a ≤ M   x - x 0

Essa relação deve valer para qualquer x , inclusive para x = x 0 , de modo que

a ≤ 0 ⇒ a = 0

Passo 3

Por fim, podemos escolher agora x = x 0 e deixar o y livre. Assim,

b y - y 0 ≤ M   y - y 0 2

Ou ainda,

b ≤ M   y - y 0

Fazendo agora y = y 0 , obtemos b ≤ 0 , de modo que b = 0 .

Provamos então que a = b = c = 0 . Portanto,

P x , y = 0

Resposta

Demonstração.

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