Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 7.17 - Ex. 49
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Suponha definida em , derivável em e . Prove que existe definida em , contínua em , tal que para todo .
Passo 1
Perceba que vamos fazer as mesmas contas da questão anterior, mas de trás pra frente.
Como é derivável em , a derivada existe e podemos supor que
com sendo alguma função definida em e contínua em . Por ser contínua, temos:
E portanto,
Passo 2
Agora, repare que, quando , podemos escrever:
Ou seja,
Mas esse limite corresponde exatamente à definição da derivada de em , se , veja só:
Ou seja, acabamos de provar que existe definida em , contínua em , tal que para todo , beleza?
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