Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = x   g x para todo x .

Passo 1

Perceba que vamos fazer as mesmas contas da questão anterior, mas de trás pra frente.

Como f é derivável em 0 , a derivada f ' 0 existe e podemos supor que

f ' 0 = g 0

com g sendo alguma função definida em R e contínua em 0 . Por ser contínua, temos:

lim x → 0 ⁡ g x = g 0

E portanto,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x

Passo 2

Agora, repare que, quando x ≠ 0 , podemos escrever:

g x = x   g x x = x   g x - 0 x - 0 = x   g x - 0   g 0 x - 0

Ou seja,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0   g 0 x - 0

Mas esse limite corresponde exatamente à definição da derivada de f em 0 , se f x = x   g x , veja só:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0   g 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0

Ou seja, acabamos de provar que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = x   g x para todo x , beleza?

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para to
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para to
Suponha f derivável em a ,   b e tal que f ' a ∙ f ' b < 0 . P