Enunciado

  1. Suponha que as desigualdades
  2. 1 - x 2 6 < x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x < 1

    Valham para valores de x próximos a zero (e elas valem como você verá na seção 10.9). O que dizer a respeito de

    lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x

  3. Faça os gráficos das equações y = 1 - x 2 6 , y = x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x e y = 1 juntas para - 2 ≤ x ≤ 2 .

Comente o comportamento dos gráficos quando x → 0 .

Passo 1

Nessas questões em que ele fala que a sua função está limitada por outras duas a boa é usar o teorema do confronto ou do sanduiche para os íntimos!

Passo 2

Legal, mas quais as funções dos extremos? Ele mesmo já deu g x = 1 - x 2 6 e h x = 1 .

Então pelo teorema, vamos ter que

lim x → 0 ⁡ g ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ h ( x )

lim x → 0 ⁡ 1 - x 2 6 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ 1

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor dos limites das pontas. Vamos começar com o da esquerda e lembre sempre que a primeira coisa a fazer com limites e substituir o valor do ponto:

lim x → 0 ⁡ 1 - x 2 6 = 1 - 0 2 6 = 1

Agora o da direita

lim x → 0 ⁡ 1 = 1

Passo 4

Agora para uma coisa ser ao mesmo tempo maior ou igual a 1 e menor ou igual a 1 , ela tem que ser na verdade igual a 1 (essa é a lógica do teorema do confronto).

Logo,

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = 1

Passo 5

Esboçando os gráficos como ele pediu, vamos ter

Vejam como a função em verde está sempre entre as outras duas nesse intervalo!

Além disso, olha como, ao se aproximar de 0 , a função de azul vai se aproximando da vermelha e levando a verde junto. Essa é a ideia do teorema do confronto!

Resposta

a ) 1

b)

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