Se raiz(5 - 2x^2) ≤ f(x) ≤ raiz(5 - x^2) para -1 <= x <= 1 , determine

lim x → 0 ⁡ f ( x )

Passo 1

Nessas questões em que ele fala que a sua função está limitada por outras duas a boa é usar o teorema do confronto ou do sanduiche para os íntimos!

Passo 2

Legal, mas quais as funções dos extremos? Ele mesmo já deu g x = 5 - 2 x 2 e h x = 5 - x 2 .

Então pelo teorema, vamos ter que

lim x → 0 ⁡ g ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ h ( x )

lim x → 0 ⁡ 5 - 2 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ 5 - x 2

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor dos limites das pontas. Vamos começar com o da esquerda e lembre sempre que a primeira coisa a fazer com limites e substituir o valor do ponto:

lim x → 0 ⁡ 5 - 2 x 2 = 5 - 2 0 2 = 5

Agora o da direita

lim x → 0 ⁡ 5 - x 2 = 5 - 0 = 5

Passo 4

Agora para uma coisa ser ao mesmo tempo maior ou igual a 5 e menor ou igual a 5 , ela tem que ser na verdade igual a 5 (essa é a lógica do teorema do confronto).

Logo,

lim x → 0 ⁡ f x = 5

Resposta

5

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