Enunciado

Mostre que se rotacionarmos a curva y = e x / 2 + e - x / 2 ao redor do eixo x , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo a ≤ x ≤ b .

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

y = e x / 2 + e - x / 2 ,   a ≤ x ≤ b

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ 2 π y d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π y 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y :

y ' = 1 2 e x / 2 - 1 2 e - x / 2

Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

S = ∫ a b 2 π e x / 2 + e - x / 2 1 + 1 2 e x / 2 - 1 2 e - x / 2 2 d x

Abrindo o produto notável dentro da raiz, temos:

S = ∫ a b 2 π e x 2 + e - x 2 1 + 1 4 e x - 1 2 + 1 4 e - x d x

S = ∫ a b 2 π e x / 2 + e - x / 2 1 4 e x + 1 2 + 1 4 e - x d x

E, agora, reescrevendo o que sobrou dentro da raiz como um produto notável, temos:

S = ∫ a b 2 π e x / 2 + e - x / 2 1 2 e x / 2 + 1 2 e - x / 2 2 d x

S = ∫ a b 2 π e x 2 + e - x 2 1 2 e x 2 + 1 2 e - x 2 d x

Colocando o 1 / 2 em evidência, temos:

S = ∫ a b 2 π . 1 2 e x 2 + e - x 2 e x 2 + e - x 2 d x

E, finalmente, podemos escrever a área de superfície como:

S = ∫ a b π e x 2 + e - x 2 2 d x

Passo 3

Agora, devemos nos lembrar das aplicações de integral vistas no capítulo 6 do Stewart, na seção 2, temos que o volume de uma superfície S pode ser escrita como:

V = ∫ a b A x   d x

Em que A ( x ) é a área da seção obtida em um plano perpendicular ao eixo x , e da mesma seção, temos que A ( x ) é dado por:

A x = π y 2

Então, substituindo o valor de A ( x ) na integral, temos:

V = ∫ a b π y 2   d x

E, no nosso caso, a função y dada foi:

y = e x / 2 + e - x / 2

Substituindo esse valor na expressão do volume, temos:

V = ∫ a b π e x 2 + e - x 2 2   d x

Que é exatamente igual à expressão obtida para a área da superfície no final do passo 2.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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