Enunciado

Suponha que uma função f seja contínua em 0,1 , exceto em 0,25 , e que f 0 = 1 e f 1 = 3 . Seja N = 2 . Esboce dois gráficos possíveis de f , um indicando que f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor Intermediário e outro mostrando que f   Poderia ainda satisfazer a conclusão do Teorema Valor Intermediário (mesmo que não satisfaça as hipóteses).

Passo 1

Opa! Galera, nessa questão devemos elaborar dois gráficos para a questão f com as seguintes condições:

Ela deve ser contínua em 0,1 ;

Ela deve ser desconcontínua em 0,25 ;

f 0 = 1

f 1 = 3

N = 2

No primeiro gráfico a gente deve ter a curva de uma função que não obedece a conclusão do Teorema do Valor Intermediário e no segundo ela deve obedecer! Esse teorema diz que:

Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f a ≠ f ( b ) . Então existe um número c em ( a , b ) tal que f c = N .”

Temos que:

a = 0 → f a = f ( 0 ) = 1

b = 1 → f b = f ( 1 ) = 3

De fato temos que N = 2 esta entre 1 e 3 .

Em um gráfico devemos ter uma descontinuidade em x = 0,25 e y = 2 assim ele não vai respeitar a conclusão do Teorema do valor intermediário, porque não vai existir um valor c em ( a , b ) tal que f ( c ) = N . No outro a descontinuidade vai ser em qualquer valor de y entre 1 e 3 que seja diferente de y = 2 . Sacou?!

Passo 2

Agora é só desenhar, respeitando os pontos conhecidos:

Repara que não existe um valor c em ( a , b ) tal que f ( c ) = N , pois no ponto onde deveríamos ter f 0,25 = 2 a função é descontinua!

Passo 3

Vamos para o segundo gráfico:

Aqui temos um f c = 2 , não conhecemos esse c mas podemos ver que ele existe!

Resposta

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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso
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