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Para quais valores da constante c a função f é contínua em - ∞ , ∞ ?

f x = c x 2 + 2 x       s e   x < 2 x 3 - c x           s e   x ≥ 2

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o valor de c para que a nossa função seja contínua no intervalo ( - ∞ , ∞ ) . Como nossa função é polinomial em ambos os intervalos, temos que nossa função é contínua em ( - ∞ , 2 ) e em ( 2 , ∞ ) .

Passo 2

Para encontrar o valor da constante c iremos aplicar o limite de x tendendo a 2 pela esquerda em f x = c x 2 + 2 x e tendendo a 2 pela direita em f x = x 3 - c x . Temos assim

lim x → 2 - ⁡ c x 2 + 2 x = 4 c + 4

lim x → 2 + ⁡ x 3 - c x = 8 - 2 c

Passo 3

Para que a função seja contínua, os limites laterais devem ser iguais. Podemos assim igualar as duas equações obtidas

4 c + 4 = 8 - 2 c

Resolvendo a equação de primeiro grau, encontramos o valor da constante para que a nossa função f ( x ) seja contínua

6 c = 4

c = 2 3

Resposta

Para que a nossa função f ( x ) seja contínua, a constante c deve ter o valor de c = 2 3 .

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