Enunciado

Para quais valores da constante c a função f é contínua em - ∞ , ∞ ?

f x = c x 2 + 2 x ,   s e   x < 2 x 3 - c x ,   s e   x ≥ 2

Passo 1

Olá meu querido amigo, vou te ajudar resolver essa atividade. Vamos? O problema começa nos dando uma função definida por partes

f x = c x 2 + 2 x ,   s e   x < 2 x 3 - c x ,   s e   x ≥ 2

E queremos determinar para quais valores da constante c essa função aí é contínua! E agora?

Para que uma função seja contínua em um ponto x 0 precisa acontecer três coisas:

  • Os limites bilaterais da função nesse ponto x 0 precisam existir e ser iguais
  • A função no ponto x 0 precisa existir
  • E os limites bilaterais e a função no ponto precisam valer a mesma coisa!

Nossa função é polinomial, ela não apresenta descontinuidade (divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo), o que é ótimo pra gente! Mas ela é descrita por dois polinômios e no ponto de ruptura ( x = 2 ) pra que ela seja contínua, os limites e a função nesse ponto têm de valer a mesma coisa!

Então a ideia é analisar os limites bilaterais dessa função e ela no ponto e igualar o valor delas!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Para encontrar o valor da constante c iremos aplicar o limite de x tendendo a 2 pela esquerda na sua representação

f x = c x 2 + 2 x

Aplicando o limite temos

lim x → 2 - ⁡ c x 2 + 2 x = c . 2 2 + 2.2

= 4 c + 4  

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos repetir o processo, mas tendendo a 2 pela direita em f x = x 3 - c x . Temos assim

lim x → 2 + ⁡ x 3 - c x = 2 3 - c . 2

= 8 - 2 c  

Passo 4

Para que a função seja contínua, os limites laterais devem ser iguais, pois a função precisa existir. Podemos assim igualar as duas equações obtidas nos passos anteriores

4 c + 4 = 8 - 2 c

Resolvendo a equação de primeiro grau, encontramos o valor da constante para que a nossa função f ( x ) seja contínua

6 c = 4

c = 2 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

Para que a nossa função f ( x ) seja contínua, a constante c deve ter o valor de c = 2 3 .

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