Enunciado

Suponha que lim x , y → x 0 , y 0 ⁡   f x , y =   a e lim u → a ⁡   g ( u ) = L , com g não definida em a em   I m ⊂ D g . Prove que

l i m x , y → x 0 , y 0 g f x , y = lim u → a ⁡   g ( u )

Prove, ainda, que o resultado acima continua válido se pusermos g definida em a ,com g   contínua em a .

Passo 1

De l i m u → a g u = L   segue que para todo ϵ > 0 , existe δ 1 > 0 , tal que 0 < u - a < δ 1 ⟹ g u - L < ϵ .

Do l i m x , y → x 0 , y 0 f x , y = a , segue para o δ 1 > 0 acima , existe δ > 0 tal que

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Como a ∉ D g e I m f ⊂ D g , resulta que f x , y ≠ a   , para todo x , y ∈ D f .   Assim,

x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Daí,

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ g f ( x , y ) - L < ϵ

Vejamos agora segunda demonstração.

De l i m u → a g u = L   segue que para todo ϵ > 0 , existe δ 1 > 0 , tal que 0 < u - a < δ 1 ⟹ g u - L < ϵ .

Do l i m x , y → x 0 , y 0 f x , y = a , segue para o δ 1 > 0 acima , existe δ > 0 tal que

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Como a ∈ D g e I m f ⊂ D g   e como f x , y   é contínua em a ,para todo x ∈ D f .  

x - a < δ   ⟹ g x - g ( a ) < δ 1

Daí, tomando δ 1 = δ

g x - g ( a ) < δ   ⟹ g f ( x , y ) - L < ϵ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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