Enunciado

Seja A um subconjunto fechado do R 2 e seja f : A → R contínua. Prove que f é limitada em A .

(Sugestão: Suponha que f não seja limitada e construa uma sequência de retângulos como a do exercício 11, tal que f não seja limitada em A ∩ R n para n=1,2,3.... conclua que f não será localmente limitada em ( x - , y - ) .)

Passo 1

Vamos supor que f não é limitada. Como A compacto e f é continua, então f ( A ) é compacto. Então para cada para ( x n ,   y n )   no domínio de f , existe M n tal que f x n ,   y n > M n .

Para cada n ∈ N , considere sequência de retângulos ( x n ,   y n ) . Então, a sequência ( x n ,   y n ) converge para um ponto ( x , y ) . Tomando uma sequência y n ∈ D f   , esta sequência não é limitada, pois y n = f x k ,   y k .     Em particular, f ( x n , y n ) não é limitada, portanto não possui subsequência convergente.

Mas lim n → ∞ ⁡ f x n ,   y n = ∞   e por f ser continua,   lim n → ∞ ⁡ f x n ,   y n = f x , y

O que é uma contradição.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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