Enunciado

Suponha que f x ,   y ,   z = g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é uma função de uma variável tal que g 2 = 5 . Calcule ∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Pessoal, exatamente na superfície, nós somos capazes de calcular o quanto f vai valer, olha só:

f x ,   y ,   z = g x 2 + y 2 + z 2 = g 4 = g 2 = 5

Então, a integral vai ficar assim:

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = ∫ ∫ S   - 5   d S = - 5 ∫ ∫ S   d S

Passo 2

Porém, a gente sabe que ∫ ∫ S   d S é justamente a área da superfície S , que é uma esfera de raio 2 , então:

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = - 5 4 π   .   2 2 = - 80 π

Resposta

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = - 80 π

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Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Se a equação de uma superfície S é z = f x , y , onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1 o que você pode dizer sobre A(S)?
A parte do plano com equação vetorial r u , v = { u + v , 2 - 3 u , 1 + u - v } que é dada por 0 ≤ u ≤ 2,- 1 ≤ v ≤ 1
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0ab .