Enunciado

Seja H o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 50   ,   z ≥ 0   , e suponha f seja uma função contínua com f 3 ,   4 ,   5 = 7 ,     f 3 ,   - 4 ,   5 = 8 ,     f - 3 ,   4 ,   5 = 9 e f - 3 ,   - 4 ,   5 = 12 . Dividindo H em quatro retalhos, estime o valor de ∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S .

Passo 1

Galera, nós podemos usar os planos x z e y z para dividir H em quatro pedaços de tamanhos iguais, cujas áreas de superfície serão iguais a 1 8 da área de superfície de uma esfera de raio 50 , ou seja, Δ S = 1 8   .   4 π   .   50 2 = 25 π . Então, usando a soma de Riemann, temos:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ Δ S   .   f 3 ,   4 ,   5 + Δ S   .   f 3 ,   - 4 ,   5 + Δ S   .   f - 3 ,   4 ,   5 + Δ S   .   f - 3 ,   - 4 ,   5 = 25 π 7 + 8 + 9 + 12 = 900 π ≈ 2827

Resposta

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ 2827

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A parte do plano x + 2 y + 3 z = 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x y z d S , S é o cone com equações paramétricas x = u c o s v , y = u s e n v , z = v , 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x z d S , S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S , S é o helicoide com equação vetorial r u , v =u c o s v , u s e n v , v, 0 ≤ u ≤ 1 , o ≤ v ≤ π