Enunciado

Suponha que uma população P(t) satisfaça

d P d t = 0,4 P - 0,001 P 2  

P 0 = 50

Onde t é medido em anos.

(a) Qual a capacidade de suporte?

(b) O que é P’(0)?

(c) Quando a população atingirá 50% da capacidade de suporte?

Passo 1

Temos de acordo com o enunciado:

d P d t = 0,4 P - 0,001 P 2  

E

P 0 = 50

Reorganizando os termos podemos escrever:

Colocando 0,4P em evidência, podemos fazer:

d P d t = 0,4 P 1 - P 400  

A quação diferencial logística nos diz que

d P d t = k P 1 - P K

Comparando com a expressão obtida, temos que a capacidade é K = 400 .

Passo 2

P ' 0 = d P d t t = 0

Temos portanto:

P ' 0 = 0,4 P 0 - 0,001 P 0 2 = 17,5

Passo 3

Sabemos que

A = M - P 0 P 0 = 7

Aplicando esse resultado na solução da equação logística temos:

P = 400 1 + 7 e - 0,4 t

Passo 4

Quando a população alcança a metade da capacidade, temos P=200, logo:

200 = 400 1 + 7 e - 0,4 t

Onde tiramos que

1 + 7 e - 0,4 t = 2 → e - 04 t = 1 7

Aplicando ln em ambos os membros obtemos:

- 0,4 t = ln ⁡ 1 7 ↔ t ≈ 4,86   a n o s

Resposta

A capacidade de suporte é K = 400 . A população atingirá metade dessa capacidade em aproximadamente 4,86 anos.

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