Enunciado

Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação integral.]

y x = 2 + ∫ 2 x t - t y x d t

Passo 1

Para começarmos a resolver a equação integral podemos calcular a derivada de y ( x ) .

y ' x = x - x   y ( x )

No enunciado temos que o termo da integral está escrito em função de t e aqui escrevemos em função de x. Isso ocorre pois na integral precisamos diferenciar quem estamos integrando e quem é nosso limite de integração. Mas é valido lembrar que y é uma função de x e não de t.

Desta forma temos que:

d y d x = x - x y = x ( 1 - y )

Passo 2

Para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.

d y 1 - y = x   d x

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo esta uma integral indefinida.

∫ d y 1 - y = ∫ x   d x

- ln ⁡ | 1 - y | = x 2 2 + C

Passo 3

Para calcular quanto vale C precisamos de alguma condição inicial, para isso podemos olhar para os limites de integração da expressão y x = 2 + ∫ 2 x t - t y x d t   . Esses limites de integração falam que x começa em 2 e vai até uma valor x qualquer , como queremos apenas a condição inicial então vamos utilizar x = 2 .

Claculando y ( 2 ) otemos: y 2 = 2 + 0 = 2

Sabendo quanto vale x e y, podemos agora calcular o valor de C a partir da equação:

- ln ⁡ | 1 - y | = x 2 2 + C

- ln ⁡ | 1 - 2 | = 2 2 2 + C

0 = 2 + C

C = - 2

Passo 4

Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após a integração, encontramos a solução da equação integral.

- ln ⁡ 1 - y = x 2 2 - 2

Aplicando exponencial em ambos os lados:

- 1 - y = e x 2 2 - 2

1 - y = e 2 - x 2 2

1 - y = ± e 2 - x 2 2

y = 1 ± e 2 - x 2 2

Mas como sabemos que quando x = 2 temos y = 2 isso só ocorre quando o sinal for positivo, então:

y = 1 + e 2 - x 2 2

Resposta

y = 1 + e 2 - x 2 2

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