Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui a n como uma função algébrica de n . Portanto, a série deve ser comparada com uma série p .

Neste caso, vamos utilizar o teste da comparação de Limite para determinar sua convergência.

Passo 2

Vamos definir a série p com a qual iremos comparar a série dada pelo enunciado.

Na série dada, temos no numerador o termo dominante n 2 e no denominador o termo dominante n 3 . Portanto, a série para comparação será

∑ b n = n n 3 = 1 n 2

Esta é uma série p com p > 1 , portando é convergente.

Passo 3

O Teste de Comparação de Limite é definido como

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Onde c é um número finito e maior que zero.

Temos que

a n = n - 1 n 3 + 1

b n = 1 n 2

Logo,

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n 3 + 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ n 3 - n 2 n 3 + 1

Dividindo o numerador e denominador por n 3 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ n 3 - n 2 n 3 + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 / n 1 + 1 / n 3 = 1

Portanto, temos que

c = 1 > 0

Como a série ∑ b n é convergente, a série dada pelo enunciado também será convergente.

Resposta

convergente

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