Enunciado

Suponha que o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n seja R . Qual é o raio da série de potências ∑ c n x 2 n ?

Passo 1

Beleza, galera? Perceba o seguinte, na série ∑ c n x n , vai haver convergência quando:

x < R

Ou,

- R < x < R

Agora, olha pra outra série:

∑ c n x 2 n = ∑ c n x 2 n

E se a gente fizesse uma mudança de variável? Que tal fazer x 2 = y ?

∑ c n   y n

Passo 2

Show! A nova série em y , deve ser considerada igual à mesma série em x :

∑ c n x n

pois é como se só mudássemos a letra. Então, de acordo com o que a gente já viu, a série em y converge quando

- R < y < R

Agora, voltando à variável x , lembrando que y = x 2 :

- R < x 2 < R

Ou seja,

- R < x < R

Assim, o raio de convergência da série ∑ c n x 2 n é R , certo?

Resposta

R

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