Enunciado

11.13. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie

∑ n = 1 ∞ n 2 n n 2 + 1 x n

Passo 1

A gente pode começar fazendo o teste da razão.

Temos que

a n = n 2 n n 2 + 1 x n

Então

a n + 1 = n + 1 2 n + 1 n + 1 2 + 1 x n + 1

Passo 2

Agora a gente faz

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 x n + 1 2 n + 1 n + 1 2 + 1 ⋅ 2 n n 2 + 1 n x n

E isso vai dar

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n 3 + n 2 + n + 1 n 3 + 2 n 2 + 2 n ⋅ x 2

Se a gente dividir em cima e em baixo na fração por n 3 , temos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 + 1 n + 1 n 2 + 1 n 3 1 + 2 n + 2 n 2 ⋅ x 2 = x 2

Pelo teste da razão a série   ∑ n = 1 ∞ n 2 n n 2 + 1 x n converge quando

x 2 < 1 ↔ x < 2

Então o raio é R = 2 .

Passo 3

Agora vamos ver o intervalo de convergência. Vamos verificar os pontos de extremidade.

Quando x = 2 , a série diverge, podemos ver isso pelo teste de comparação de limites.

Quando x = - 2 , a série converge pelo teste da série alternada. Então

- 2,2

Resposta

R = 2

I = - 2,2

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