Enunciado

Suponha que a região R tenha área A e esteja acima do eixo x . Quando R é girada em torno de eixo x , ela gera um sólido com volume V 1 . Quando R é girada em torno da reta y = - k (onde k é um número positivo), ela gera um sólido com volume V 2 . Expresse V 2 em termos de V 1 , k e A .

Passo 1

É suficiente para nós considerar o caso onde R é limitado pelas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) para a ≤ x ≤ b , onde g x ≤ f ( x ) para qualquer x nesse intervalo [ a , b ] , desde que outras regiões possam ser decompostas em sub-regiões desse tipo.

Passo 2

Nós estamos preocupados com o volume obtido quando R é girado sobre a linha y = - k , que é igual a

V 2 = π ∫ a b ( f x + k 2 - [ g x + k ] ² ) d x =

π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x + 2 π k ∫ a b [ f x - g x ] d x = V 1 + 2 π k A

Resposta

V 2 = V 1 + 2 π k A .

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