Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 36
- Suponha que seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
para alguma constante , onde . Determine o trabalho realizado por ao mover um objeto de um ponto por um caminho para um ponto em termos da distância e desses pontos à origem.
- Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional discutido no Exemplo 4 da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de ). (Use os valores e .)
- Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico discutido no Exemplo 5 da Seção 16.1. Suponha que um elétron com carga de esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor .)
para alguma constante , onde . Determine o trabalho realizado por ao mover um objeto de um ponto por um caminho para um ponto em termos da distância e desses pontos à origem.
Passo 1
- Temos que e que
- Pegando a fórmula
- Com a mesma lógica da letra (b)
Podemos dizer que é conservativo, pois , onde
Apesar de não ser algo imediato, poderíamos tirar a ideia de que é conservativo, se for conservativo, possui as derivadas simétricas entre si, ficando mais fácil o pensamento, daí basta integrar uma das componentes
Substituindo
Como as derivadas são simétricas, uma da opções é quando , então provamos que é conservativo.
Passo 2
Como provamos que é conservativo podemos calcular o trabalho como sendo
Como temos que
Se uzarmos um ponto qualquer , podemos dizer que
Onde é a distancia de da origem, então
Passo 3
Se isolarmos temos
E podemos calcular o trabalho como sendo
Substituindo os valores, convertendo para trabalharmos com os mesmos valores, temos
Passo 4
Substituindo os valores