Enunciado

  1. Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
  2. F r = c r r 3

    para alguma constante c , onde r = x   i + y   j + z   k . Determine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto P 1 por um caminho para um ponto P 2 em termos da distância d 1 e d 2 desses pontos à origem.

  3. Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional F = - ( m M G ) r / r 3 discutido no Exemplo 4 da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de 1,52 × 10 8   k m do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 × 10 8   k m ). (Use os valores m = 5,97 × 10 24   k g ,   M = 1,99 × 10 30   k g e G = 6,67 × 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2 .)
  4. Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico F = ε q Q r / r 3 discutido no Exemplo 5 da Seção 16.1. Suponha que um elétron com carga de - 1,6 × 10 - 19   C esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 10 - 12   m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor ε = 8,985 × 10 9 .)

Passo 1

  1. Temos que r = ( x , y , z ) e que
  2. F r = F x , y , z = c x 2 + y 2 + z 2 3 ( x , y , z )

    Podemos dizer que F é conservativo, pois F = ∇ f , onde

    f = - c x 2 + y 2 + z 2

    Apesar de não ser algo imediato, poderíamos tirar a ideia de que F é conservativo, se for conservativo, possui as derivadas simétricas entre si, ficando mais fácil o pensamento, daí basta integrar uma das componentes

    ∫ x x 2 + y 2 + z 2 3 d x

    Substituindo

    u = x 2 + y 2 + z 2

    d u = 2 x   d x

    ∫ c x x 2 + y 2 + z 2 3 d x = c ∫ d u / 2 u 3

    = 1 2 c ∫ u - 3 / 2 d u = c 2 u - 1 2 - 1 / 2 + h y , z

    = - c u + h y , z = - c x 2 + y 2 + z 2 + h y , z

    Como as derivadas são simétricas, uma da opções é quando h = 0 , então provamos que F é conservativo.

    Passo 2

    Como provamos que F é conservativo podemos calcular o trabalho como sendo

    W = f P 2 - f ( P 1 )

    Como temos que

    f = - c x 2 + y 2 + z 2

    Se uzarmos um ponto qualquer P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , podemos dizer que

    f P 0 = - c d 0

    Onde d 0 é a distancia de P 0 da origem, então

    W = - c d 2 + c d 1 = c 1 d 1 - 1 d 2

    Passo 3

  3. Pegando a fórmula
  4. F = - m M G r r 3

    Se isolarmos r / r 3 temos

    F = - m M G r r 3

    E podemos calcular o trabalho como sendo

    W = - m M G 1 d 1 - 1 d 2

    Substituindo os valores, convertendo k m = 10 3 m para trabalharmos com os mesmos valores, temos

    W = - ( 5,97 × 10 24 ) × ( 1,99 × 10 30 ) × ( 6,67 × 10 - 11 ) 1 1,52 × 10 11 - 1 1 , 47 × 10 11

    = - 79,24 × 10 43 × 10 - 11 - 0,02238 = 1,77 × 10 32 J

    Passo 4

  5. Com a mesma lógica da letra (b)

F = ε q Q r r 3

W = ε q Q 1 d 1 - 1 d 2

Substituindo os valores

W = 8,985 × 10 9 1 - 1,6 × 10 - 19   1 10 - 12 - 2 10 - 12

= 14,38 × 10 2 J = 1,438   k J

Resposta

  1. W = c 1 d 1 - 1 d 2

  2. 1,77 × 10 32 J
  3. 1,438   k J
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