Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

46. a n = 2 - n cos ⁡ n π

Passo 1

E aí, galera? Tudo certo? Questãozinha de convergência de sequências pra gente:

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

Para resolver essa sequência devemos utilizar o raciocínio do teorema do confronto. O que nos indica isso é o fato da função cosseno ser limitada entre dois valores. Sabemos que a função cosseno varia de - 1 a 1 , não é mesmo?

Mas para simplificar nossa abordagem, nós vamos calcular o módulo dessa sequência, porque vai ser mais fácil entendermos seu comportamento desconsiderando a oscilação para valores negativos.

Além do Teorema do Confronto, aplicaremos o Teorema 6 e o Teoremo 9 do nosso livro.

Vamos entender esse processo passo a passo juntos.

Passo 2

Esse passo aqui vai ser dedicado para a gente relembrar do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):

O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.

Basicamente:

se f x ≤ g x ≤ h ( x ) e lim x → p ⁡ f x = lim x → p ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L

Em módulo, teremos:

0 ≤ cos ⁡ n π ≤ 1

Como nossa sequência é 2 - n cos ⁡ n π , multiplicamos por 2 - n :

0 ≤ 2 - n cos ⁡ n π ≤ 2 - n

Então teremos:

l i m n → ∞ 0 ≤ l i m n → ∞ 2 - n cos ⁡ n π ≤ l i m n → ∞ 2 - n

Passo 3

Aqui nós iremos de fato calcular esses limites.

O limite da constante é a própria constante:

l i m n → ∞ 0 = 0

Para calcularmos l i m n → ∞ 2 - n , primeiro vamos simplificar nossa expressão:

Como a - m = 1 a m , ficamos com:

l i m n → ∞ 2 - n = l i m n → ∞ 1 n 2 n

E como a m b m = a b m , temos:

l i m n → ∞ 1 n 2 n = l i m n → ∞ 1 2 n

De acordo com o teorema 9, assim como discutido pelo Stewart, temos que:

lim n → ∞ ⁡ r n = 0   s e - 1 < r < 1 1   s e   r = 1

No nosso caso, r = 1 2 , então l i m n → ∞ 1 2 n = 0 , não é mesmo?

Passo 4

Agora que temos os valores dos limites das sequências que limitam nossa sequência em questão, temos que:

0 ≤ l i m n → ∞ 2 - n cos ⁡ n π ≤ 0

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ 2 - n cos ⁡ n π = 0

Passo 5

Descobrimos o limite da sequência com módulo, mas lembre que nossa sequência inicial era a n = 2 - n cos ⁡ n π . Nós adicionamos o módulo para facilitar cálculos.

Mas pelo Teorema 6 do nosso livro, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Sendo assim,

l i m n → ∞ 2 - n cos ⁡ n π = lim n → ∞ ⁡ 2 - n cos ⁡ n π = 0

A conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = 2 - n cos ⁡ n π   é   c o n v e r g e n t e

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