Enunciado

Este exercício ilustra a relação entre o vetor rotacional e rotações. Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo z . A rotação pode ser descrita pelo vetor ω → = ω k → , onde ω é a velocidade angular de B , ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P em B dividido pela distância d do eixo de rotação. Seja r → = x , y , z o vetor posição de P .

  1. Considerando o ângulo θ da figura, mostre que o campo de velocidades de B é dado por v → = ω → × r →
  2. Mostre que v → = - ω y j → + ω x j →
  3. Mostre que r o t   v → = 2 ω →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Admitindo que a distância da origem até o ponto P é r , então pelo desenho:

d = r s e n ( θ )

Como o enunciado mencionou, a velocidade tangencial v é:

v = ω d = ω r s e n ( θ )

E esse é justamente o módulo do produto vetorial entre os vetores ω → e r → , uma vez que θ é o ângulo entre eles! Saca só:

v → = ω → × r →

Passo 2

Para o item b ) , temos os vetores:

Velocidade angular: ω → = 0,0 , ω

Posição: r → = x , y , z

Velocidade tangencial: v → = ω → × r →

Agora podemos calcular o produto vetorial entre eles:

v → = i → j → k → 0 0 ω x y z = i → - ω y + j → ω x + 0 k →

Assim o vetor v → é:

v → = - ω y i → + ω x j →

Passo 3

Legal! O próximo passo é calcular o rotacional de v → . Já estamos carecas de saber como se calcula o rotacional, então:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - ω y ω x 0 = i → ∂ ∂ y 0 - ∂ ∂ z ( ω x ) + j → ∂ ∂ z ( - ω y ) - ∂ ∂ x 0 + k → ∂ ∂ x ( ω x ) - ∂ ∂ y ( - ω y )

Como as derivadas parciais das componentes i →   e   j → são nulas, ficamos apenas com a componente k → :

∇ × v → = k → ∂ ∂ x ( ω x ) - ∂ ∂ y ( - ω y ) = 2 ω k → = 2 ω →

Resposta

( a ) v → = ω → × r →

( b ) v → = - ω y i → + ω x j →

c ∇ × v → = 2 ω →

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