Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 37
Este exercício ilustra a relação entre o vetor rotacional e rotações. Seja um corpo rígido girando em torno do eixo . A rotação pode ser descrita pelo vetor , onde é a velocidade angular de , ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto em dividido pela distância do eixo de rotação. Seja o vetor posição de .
- Considerando o ângulo da figura, mostre que o campo de velocidades de é dado por
- Mostre que
- Mostre que
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Admitindo que a distância da origem até o ponto é , então pelo desenho:
Como o enunciado mencionou, a velocidade tangencial é:
E esse é justamente o módulo do produto vetorial entre os vetores e , uma vez que é o ângulo entre eles! Saca só:
Passo 2
Para o item , temos os vetores:
Velocidade angular:
Posição:
Velocidade tangencial:
Agora podemos calcular o produto vetorial entre eles:
Assim o vetor é:
Passo 3
Legal! O próximo passo é calcular o rotacional de . Já estamos carecas de saber como se calcula o rotacional, então:
Como as derivadas parciais das componentes são nulas, ficamos apenas com a componente :