Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

Passo 1

Show galera! Bora lá! Só pra lembrar o que é rotacional e divergente, seja o campo vetorial do enunciado:

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2

F x , y , z = F x , F y , F z

Vamos ter que o rotacional será:

r o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

r o t F = ∂ F z ∂ y i + ∂ F x ∂ z j + ∂ F y ∂ x k - ∂ F y ∂ z i + ∂ F z ∂ x j + ∂ F x ∂ y k

r o t F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k

E o divergente será:

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Passo 2

Show galera, agora a gente vai calcular umas derivadas. Vamos começar com as derivadas de F x . Sendo:

F x = x x 2 + y 2 + z 2

Vamos ter, pela regra do quociente:

∂ F x ∂ x = ∂ x ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ y = ∂ x ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ z = ∂ x ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

O que vai dar:

∂ F x ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ y = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ z = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Continuando:

∂ F x ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ y = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

∂ F x ∂ z = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

Continuaaaando...

∂ F x ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F x ∂ y = - x y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F x ∂ z = - x z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 3

Bora pras derivadas de F y . Sendo:

F y = y x 2 + y 2 + z 2

Vamos ter, pela regra do quociente:

∂ F y ∂ x = ∂ y ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ y = ∂ y ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ z = ∂ y ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

O que vai dar:

∂ F y ∂ x = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ z = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Continuando:

∂ F y ∂ x = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

∂ F y ∂ z = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

Continuaaaando...

∂ F y ∂ x = - x y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F y ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F y ∂ z = - y z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 4

Bora pras derivadas de F z . Sendo:

F z = z x 2 + y 2 + z 2

Vamos ter, pela regra do quociente:

∂ F z ∂ x = ∂ z ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ y = ∂ z ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ z = ∂ z ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

O que vai dar:

∂ F z ∂ x = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ y = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Continuando:

∂ F z ∂ x = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ y = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

∂ F z ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

Continuaaaando...

∂ F z ∂ x = - x z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F z ∂ y = - y z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ F z ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 5

Show galera, agora temos tudo que precisamos pra calcular rotacional e divergente.. Pro rotacional primeiro:

r o t F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k

r o t F = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 i + - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 j + - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 k

r o t F = 0 i + 0 j + 0 k

Eita, acabou zerando! Mas ta calculado já! Partiu divergente:

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

d i v F = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

d i v F = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 1 - 3 2 = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 2 2 - 3 2

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2

Resposta

r o t F = 0 i + 0 j + 0 k

d i v F = 2 x 2 + y 2 + z 2

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Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão