86. Suponha que f seja contínua e não negativa em [a, b] , como na figura a seguir. Ao inserir pontos

x1, x2, ..., x(k-1), xk, ..., x(n-1)

como mostrado, divida [a, b] em n subintervalos de comprimentos ∆x1 = x1 - a, ∆x2 = x2 - x1, … , ∆xn = b - x(n-1) , que não precisam ser iguais.

a) Se m_k = min{f(x) para x no k-ésimo subintervalo} , explique a relação entre a soma inferior:

L = m_1 ∆x_1 + m_2 ∆x_2 + … + m_n ∆x_n

e as regiões sombreadas na primeira parte da figura.

b) Se Mk = max{f(x) para x no k-ésimo subintervalo} , explique a relação entre a soma superior:

U = M1 ∆x1 + M2 ∆x2 + ... + Mn ∆xn

e as regiões sombreadas na segunda parte da figura.

c) Explique a relação U - L e as regiões sombreadas ao longo da curva na terceira parte da figura.

Passo 1

a) A conclusão que chegamos observando a figura é bastante tranquila galera, mesmo que não pareça tanto. Dando um spoiler, a resposta da b) também é bem de boa, beleza? Sabendo que a área dos retângulos é igual ao produto da lagura pela altura, então temos o seguinte:

∑ i = 1 n ∆ x i m i = L

Essa resposta faz sentido porque a região sombreada é a soma da área de todos os retângulos que estão inscritos. Ademais, vale evidenciar também que essa somatória acima são as áreas de que estamos falando, tudo bem?

Passo 2

b) A conclusão é LITERALMENTE a mesma que a da letra a), mas com uma diferença, de que não estamos mais falando de mínimos e sim de máximos. Sendo assim:

∑ i = 1 n ∆ x i M i = U

E, assim como fizemos na letra a), vale evidenciar também que essa somatória acima são as áreas de que estamos falando, de boas?

Passo 3

c) Então galera, se prestarmos atenção na terceira figura, é facilmente notável que aquela regiãozinha rachurada é a diferença entre a região da segunda figura e a da primeira figura ( U - L ) . A relação é esta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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