Enunciado

Suponha que f ' ' seja contínua em ( - ∞ , ∞ ) .

(a) Se f ' 2 = 0 e f ' ' 2 = - 5 , o que se pode afirmar sobre f ?

(b) Se f ' 6 = 0 e f ' ' ' 6 = 0 , o que se pode afirmar sobre f ?

Passo 1

Item a:

Se f ' 2 = 0 e f ' ' 2 = - 5 então podemos afirmar que f tem máximo local em x = 2

Explicação:

Afinal, f ' nos fornece o comportamento de (de)crescimento dependendo do sinal. Sendo zero em x = 2 , temos em x = 2 um ponto de mudança de comportamento. Como f ' ' nos diz qual a concavidade dependendo do seu sinal, e sabemos que em x = 2 ela é negativa, sabemos que a concavidade é pra baixo, caracterizando x = 2 como um ponto de máximo local

Passo 2

Item b:

Se f ' 6 = 0 então podemos afirmar que f possui reta tangente horizontal é x = 6

O fato de f ' ' ' 6 = 0 ser uma verdade não nos fornece nenhuma nova informação sobre f

Explicação:

A igualdade f ' ' ' 6 = 0 nos permite somente afirmar que f ' ' possui reta tangente horizontal em x = 6 . Como f ' ' nos dá informações sobre a concavidade de f dependendo do seu sinal, saber quando ela tem tem tangente horizontal não nos fornece nenhum dado sobre o sinal de f ' ' nesse ponto.

Resposta

(a) f tem máximo local em x = 2 .

(b) f possui reta tangente horizontal é x = 6 .

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