Enunciado

(a) Encontre os números críticos de f x = x 4 x - 1 3 .

(b) O que o Teste da Segunda derivada mostra para você sobre o comportamento de f nesses números críticos?

(c) O que mostra o Teste da Primeira derivada?

Passo 1

Item a:

Os números críticos são aqueles cuja derivada é nula, portanto, vamos obter a derivada:

f x = x 4 x - 1 3

f ' x = 4 x 3 x - 1 3 + x 4   3 x - 1 2

f ' x = x - 1 2 4 x 4 - 4 x 3 + 3 x 4

f ' x = x - 1 2 7 x 4 - 4 x 3

ou

f ' x = x 3 x - 1 2 7 x - 4

Então, os pontos críticos:

x 3 x - 1 2 7 x - 4 = 0

x 3 = 0 ⇒ x = 0

Ou

x - 1 2 = 0 ⇒ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

Ou

7 x - 4 = 7 x - 4 ⇒ x = 4 7

Logo, os pontos críticos são x = 0 , x = 1 , e x = 4 7 .

Passo 2

Item b:

Vamos obter primeiramente a derivada segunda:

f ' x = x - 1 2 7 x 4 - 4 x 3

f ' ' x = 2 x - 1 7 x 4 - 4 x 3 + x - 1 2 28 x 3 - 12 x 2

Então:

-Para x = 0 :

f ' ' 0 = 2 0 - 1 7 0 4 - 4 0 3 + 0 - 1 2 28 0 3 - 12 0 2

f ' ' 0 = 2 - 1 0 + 0 - 1 2 28 0 3 - 12 0 2

f ' ' 0 = 0

Nada podemos afirmar.

-Para x = 4 / 7 :

f ' ' 4 7 = 2 4 7 - 1 7 4 7 4 - 4 4 7 3 + 4 7 - 1 2 28 4 7 3 - 12 4 7 2

f ' ' 4 7 = - 6 7 0 + 9 49 64 49

f ' ' 4 7 = 576 49 2

O ponto x = 4 / 7   é mínimo local pois f ' ' 4 7 > 0

-Para x = 1 :

f ' ' x = 2 1 - 1 7 1 4 - 4 1 3 + 1 - 1 2 28 1 3 - 12 1 2

f ' ' x = 0

Nada podemos afirmar.

Passo 3

Item c:

Estudando o sinal dessa função, temos a seguinte tabela:

Então se o sinal da derivada indica o decrescimento e crescimento da função, temos que f cresce ate x = 0 e decresce após ele, x = 0 é máximo local, f decresce até x = 4 / 7 e cresce após ele, x = 4 / 7 é mínimo local. Quanto ao ponto x = 1 não é máximo nem mínimo pois f é crescente antes e depois dele.

Resposta

(a) Os pontos críticos são x = 0 , x = 1 , e x = 4 7 .

(b) O ponto x = 4 / 7   é mínimo local.

(c) x = 0 é máximo local e x = 4 / 7 é mínimo local.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.
Associe a tabela com um gráfico.
Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.
Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.
Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.