Enunciado

(a) Suponha que f   seja derivável em R e tenha duas raízes. Mostre que f ' tem pelo menos uma raiz.

(b) Suponha que f   seja duas vezes derivável em R e tenha três raízes. Mostre que f ' ' tem pelo menos uma raiz real.

(c) Você pode generalizar os itens (a) e (b)?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... a questão nos faz três questionamentos sobre uma função f qualquer e suas derivadas.

Vamos fazer um por um que aí a gente vai construindo a resolução, belezinha??

Na primeira pergunta a questão quer que mostremos que a derivada f ' tem pelo menos uma raiz, dado que a função f   seja derivável em R e tenha duas raízes.

Para isso, vamos supor que:

f a = f b = 0

com a < b .

e aplicando o Teorema de Rolle em f no intervalo [ a , b ] , há um número c tal que a < c < b e f ' c = 0 .

Em outras palavras, se uma função é contínua em um intervalo fechado, diferenciável em seu interior e assume os mesmos valores nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a derivada é zero!!

Assim, haverá pelo menos uma raiz!!

Passo 2

Na segunda pergunta a questão quer que mostremos que a derivada segunda f ' ' tem pelo menos uma raiz real, dado que f   seja duas vezes derivável em R e tenha três raízes.

Para isso, vamos supor que:

f a = f b = f c = 0

com a < b < c .

Aplicando o Teorema de Rolle em f ( x ) nos intervalos [ a , b ] e [ b , c ] , há números a < d < b e b < e < c com f ' d = f ' e = 0 .

Aplicando o Teorema de Rolle novamente em f ' ( x ) no intervalo [ d , e ] , há um número g tal que d < g < e e f ' ' g = 0 .

Assim, de forma análoga a primeira pergunta, temos que f ' ' tem pelo menos uma raiz real!!

Passo 3

Por fim, na última pergunta, a questão quer saber se a gente pode generalizar as duas primeiras perguntas.

Em outras palavras, a questão quer saber se aquilo que abordamos vale para a terceira derivada, a quarta, a quinta... e assim sucessivamente.

Para isso, temos que supor que f é derivável n vezes em R e tem n + 1 raízes reais distintas.

Com isso, f ( n ) tem pelo menos uma raiz real (também aplicando o Teorema de Rolle!!!).

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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