Enunciado

Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = r cos ⁡ θ ,   y = r sen ⁡ θ transforma a equação separável.

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos lá, a gente tem essa equação homogênea aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

A gente vai usar a substituição x = r cos ⁡ θ ,   y = r sen ⁡ θ para transformar numa equação separável.

Derivando, a gente tem:

d x = cos ⁡ θ   d r - rsen ⁡ θ d θ

d y = sen ⁡ θ   d r + r cos ⁡ θ   d θ

Agora a gente vai substituir isso na equação e desenvolver...

Passo 2

Substituindo aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

M r cos ⁡ θ , rsen ⁡ θ cos ⁡ θ   d r - rsen ⁡ θ d θ + N r cos ⁡ θ ,   r   s e n θ sen ⁡ θ   d r + r cos ⁡ θ   d θ = 0

Pra ficar menos confuso, vamos chamar M r cos ⁡ θ , rsen ⁡ θ = A e N r cos ⁡ θ ,   r   s e n θ = B .

A cos ⁡ θ   d r - rsen ⁡ θ d θ + B sen ⁡ θ   d r + r cos ⁡ θ   d θ = 0

A c o s   θ d r - A r s e n   θ   d θ + B s e n   θ d r + B r cos ⁡ θ d θ = 0

d r A cos ⁡ θ + B s e n   θ = d θ r A sen ⁡ θ - B cos ⁡ θ

d r r = A sen ⁡ θ - B cos ⁡ θ A cos ⁡ θ + B s e n   θ d θ

d r r = M r cos ⁡ θ , rsen ⁡ θ sen ⁡ θ - N r cos ⁡ θ ,   r   s e n θ cos ⁡ θ M r cos ⁡ θ , rsen ⁡ θ cos ⁡ θ + N r cos ⁡ θ ,   r   s e n θ s e n   θ d θ

E prontinho! Chegamos a uma equação separável, como queríamos demonstrar😉

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