Enunciado

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

6 x y 3 + cos ⁡ y d x + k x 2 y 2 - x . s e n ( y ) d y = 0

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de k para que a equação 6 x y 3 + cos ⁡ y d x + k x 2 y 2 - x . s e n ( y ) d y = 0

Seja exata

Temos M x , y = 6 x y 3 + cos ⁡ y e N x , y = k x 2 y 2 - x . s e n ( y )

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando ∂ M ∂ y

∂ M ∂ y = ∂ ( 6 x y 3 + cos ⁡ y ) ∂ y

Como k é uma constante, temos:

∂ M ∂ y = 18 x y 2 - s e n ( y )

Agora vamos calcular ∂ N ∂ x

∂ N ∂ x = ∂ ( k x 2 y 2 - x . s e n ( y ) ) ∂ x

∂ N ∂ x = 2 k x y 2 - s e n ( y )

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

18 x y 2 - s e n ( y ) = 2 k x y 2 - s e n ( y )

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de k para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica x y ² do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica x y ² do lado direito:

18 = 2 k

k = 9

Então, para k = 9 as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

k = 9

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2 x y - y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 - x 2 y 2 d y d x = 0
x + y + x + 2 y d y d x = 0 , y 2 = 3
x 2 y + x y - y + x 2 y - 2 x 2 d y d x = 0
d y d x = - 2 x y + 1 x 2 + 2 y
d y d x = e - x cos ⁡ y - e 2 y cos ⁡ x - e - x s e ny + 2 e 2 y s e nx