Enunciado

Suponha que f seja uma função definida para todo x>N, onde N é uma constante positiva. Se t=1/x e F(t) = f(1/t), onde t é diferente de 0, prove que as afirmações lim x → + ∞ ⁡ f x = M   e lim x → 0 ⁡ f t = M tem o mesmo significado.

Passo 1

Certo, primeiro vamos mostrar que uma g(b) seja diferente de g(a). Primeiro suponhamos g(b) = g(a). Como g satisfaz as duas condições da hipótese do teorema do valor médio, existe algum número c em (a,b) tal que g’(c) = [g(b) – g(a)]/(b-a). Mas a condição (iii) da hipótese desse teorema estabelece que para todo x em (a,b), g’(x) é diferente de 0. Há portanto uma contradição. Logo, a hipótese de que g(b) = g(a) é falsa. Assim g(b) é diferente de g(a) e, consequentemente, g(b) – g(a) é diferente de 0.

Passo 2

Consideremos agora a função h definida por:

F ' t G ' ( t ) = - 1 t 2 f ' 1 t - 1 t 2 g ' 1 t

Logo

f ' x g ' ( x ) = F ' t G ' ( t )

Portanto:

lim t → + 0 ⁡ F ' t G ' ( t ) = L

Como para todo x>N, g’(x) é diferente de 0, temos que:

G’(t) diferente de 0 para toxo x>N, g’(x) é diferente de 0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x
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