Enunciado

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

20. r 2 = 9 c o s 2 θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Reescrevendo a tangente como s e n θ c o s θ , e reorganizando os termos:

t g α = s e n θ d r d θ + r c o s θ c o s θ d r d θ - r s e n θ

Precisamos então calcular d r d θ ,   como tem uma potência quadrada no r, a equação da derivada ficará:

r d r d θ = - 9 s e n 2 θ

Multiplicando e dividindo a equação da inclinação por r:

t g α = s e n θ r d r d θ + r 2 c o s θ c o s θ r d r d θ - r 2 s e n θ

Substituindo os nossos resultados:

t g α = s e n θ r - 9 s e n 2 θ + 9 c o s 2 θ c o s θ c o s θ r - 9 s e n 2 θ - 9 c o s 2 θ s e n θ

Simplificando o 9 e reescrevendo:

t g α = c o s θ c o s 2 θ - s e n θ s e n 2 θ - s e n θ c o s 2 θ + c o s θ s e n 2 θ

t g α = - c o s 3 θ s e n 3 θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

c o s 3 θ = 0

3 θ = π 2

θ = π 6

Outro valor onde   c o s 3 θ = 0 :

3 θ = 3 π 2

θ = π 2

E também:

3 θ = 5 π 2

θ = 5 π 6

Substituindo os valores de θ na equação de r, primeiro para θ = π 6 :

r 2 = 9 c o s 2 θ = 9 c o s π 3 = 9 2

r = ± 3 2 2

E as coordenadas cartesianas para r positivo serão:

x = r c o s θ = 3 2 2 c o s π 6 ≅ 1,84

y = r s e n θ = 3 2 2 s e n π 6 ≅ 1,06

Para r negativo:

x = r c o s θ = - 3 2 2 c o s π 6 ≅ - 1,84

y = r s e n θ = - 3 2 2 s e n π 6 ≅ - 1,06

Para θ = π 2 , r terá raiz negativa, então iremos descartar esse ponto.

E para θ = 5 π 6 , os resultados serão os mesmos que para θ = π 6 , a diferença é que as coordenadas cartesianas terão valores diferentes, mas corresponderiam à mesma reta, pois as retas cruzam a curva em dois pontos.

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

s e n 3 θ = 0

θ = 0

E outro possível resultado:

3 θ = π

θ = π 3

A equação de r para θ = 0 , será:

r 2 = 9 c o s 0 = 9

r = ± 3

Para r positivo teremos as seguintes coordenadas cartesianas:

x = 3 c o s 0 = 3

y = 3 s e n 0 = 0

E para r negativo:

x = - 3 c o s 0 = - 3

y = - 3 s e n 0 = 0

Para θ = π 3 , a equação de r assumirá valores complexos, então não corresponderá a um valor de uma reta tangente. Logo, os pontos (-3, 0) e (3, 0), serão os pontos onde as retas verticais tangenciam a curva.

Passo 4

O esboço do gráfico então será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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