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Suponha que y = f x seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação

x y 2 + y + x = 1

Mostre que f ' x = - 1 - f x 2 2 x   f x + 1 em todo x ∈ D f com 2 x   f x + 1 ≠ 0

Passo 1

Primeiro, vamos derivar os dois membros da equação em relação a x :

d d x x y 2 + y + x = d d x 1

x ' y 2 + x d d x y 2 + d y d x + x ' = 0

y 2 + x 2 y d y d x + d y d x + 1 = 0

Passo 2

Agora, lembre-se de que y = f x e d y d x = f ' x , então:

f x 2 + x 2   f x   f ' x + f ' x + 1 = 0

Isolando f ' x da equação acima, obtemos:

2 x   f x + 1   f ' x = - 1 - f x 2

f ' x = - 1 - f x 2 2 x   f x + 1

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Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita7. x + y
Encontre d y / d x derivando implicitamente. x 2 + y 3 = 1
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicit
Encontre d y / d x derivando implicitamente. 1 + x = s e n ( x y 2 )