Calcule

j   ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2   d x

Passo 1

Bom galera, nós vamos calcular essa integral ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2   d x por substituição:

Fazemos:

u = 2 x

Derivando u temos que:

d u = 2 d x

⇒ d u 2 = d x

Note que ficamos com:

1 2 d u = d x

Esse 1 2 é constante, então já podemos “tirar fora” da integral e nossa integral fica da seguinte maneira:

1 2 ∫ 1 - cos ⁡ u 2   d u

Passo 2

Agora, precisamos expandir o que está dentro essa integral:

1 - cos ⁡ u 2

Nos dá:

cos 2 ⁡ u - 2 cos ⁡ u + 1

Isso implica que:

1 2 ∫ ( cos 2 ⁡ u - 2 cos ⁡ ( u ) + 1 )   d u

Passo 3

Note que podemos separar essa integral termo a termos:

1 2 ∫ cos 2 ⁡ u d u - ∫ cos ⁡ u d u + 1 2 ∫ 1 d u  

Vamos escrever o termo cos 2 ⁡ u como 1 2 cos ⁡ ( 2 u ) + 1 2 , isso implica que:

1 2 ∫ 1 2 cos ⁡ 2 u + 1 2 d u - ∫ cos ⁡ u d u + 1 2 ∫ 1 d u

Passo 4

Então, podemos integrar termo por termo:

1 4 ∫ cos ⁡ 2 u d u + 3 4 ∫ 1   d u - ∫ cos ⁡ u d u

E vamos utilizar substituição novamente para a integral de cos ⁡ ( 2 u ) :

Fazemos s = 2 u , e então d s = 2   d u , isso implica que d s 2 = d u :

1 8 ∫ cos ⁡ s d s + 3 4 ∫ 1   d u - ∫ cos ⁡ u d u

Passo 5

A integra de cos ⁡ ( s )   é sen ⁡ ( s ) , logo:

s e n   ( s ) 8 + 3 4 ∫ 1   d u - ∫ cos ⁡ u d u

A integral de 1 é u , logo:

s e n   ( s ) 8 + 3 u 4 - ∫ cos ⁡ u d u

A integral de cos ⁡ ( u )   é s e n   ( u ) , logo:

s e n   ( s ) 8 + 3 u 4 - s e n   u + C

Não podemos esquecer de somar a constante no fim.

Passo 6

Agora vamos substituir os valores de volta, primeiro para s = 2 u :

3 u 4 - s e n   u + 1 8   s e n   2 u + C

E depois para u = 2 x :

3 x 2 - s e n 2 x + 1 8 - s e n   ( 4 x )

Arrumando um pouquinho:

1 8 12 x - 8   s e n   2 x + s e n   4 x ) ) + C

Resposta

1 8 12 x - 8   s e n   2 x + s e n   4 x ) ) + C

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