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Suponha que y = f x seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Suponha ainda que 1 ∈ D f .

a) Calcule f 1 .

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

a) Se y 3 + 2 x y 2 + x = 4 , para achar f 1 , vamos substituir x por 1 , para encontrar o y que corresponde a f 1 :

y 3 + 2 x y 2 + x = 4

y 3 + 2 y 2 + 1 = 4

y 3 + 2 y 2 - 3 = 0

A única solução para essa equação é y = 1 , então:

f 1 = 1

Passo 2

b) Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 :

Temos que x 0 = 1 e y 0 = 1 então devemos calcular f ' 1 :

Devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

y 3 ' + 2 x y 2 ' + x ' = 4 '

3 y 2   y ' + 2 y 2 + x 2 y   y ' + 1 = 0

3 y 2   y ' + 2 y 2 + 4 x y   y ' + 1 = 0

Para x 0 = 1 e y 0 = 1 :

3 ⋅ 1 2   y ' + 2 ⋅ 1 2 + 4 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅   y ' + 1 = 0

3 y ' + 2 + 4 y ' + 1 = 0

7 y ' = - 3

y ' = - 3 7

Então, f ' 1 = - 3 7 .

Assim, retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - 1 = - 3 7 x - 1

Logo, a equação da reta tangente é dada por

y - 1 = - 3 7 x - 1

Resposta

a)

f 1 = 1

b)

y - 1 = - 3 7 x - 1

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