Enunciado

Suponha que g seja uma função ímpar e seja h = f   o   g . A função h é sempre uma função ímpar? E se f for ímpar? E se f for par?

Passo 1

Certo, então temos que pensar sobre composições de funções ímpares e pares para responder essa pergunta.

Se g é uma função ímpar, então

g x = - g ( - x )

Isso quer dizer que ela é simétrica em relação à origem. Se pegarmos dois valores opostos e colocarmos na função da g teremos resultados opostos, como o exemplo:

Passo 2

Daí, quando a gente colocar os resultados achados em g na função da f , vamos achar f   o   g .

Se f for par, os valores opostos achados em g vão resultar em um mesmo número, porque essa é a definição de função par (simetria em relação ao eixo y ) :

f x = f ( - x )

Então f   o   g é par quando f é par.

Passo 3

Se f for ímpar, os valores opostos de g vão resultar em números novamente opostos, porque essa é a definição de função ímpar, como vimos ali em cima. Então f   o   g é ímpar quando f é ímpar.

Passo 4

Se f não for nem par e nem ímpar, então a composição f   o   g também não vai ser nem par e nem ímpar. Não haverá simetria alguma!

Resposta

A função h , nesse caso, será par quando f for par.

Será ímpar se f for ímpar.

E não será nem par e nem ímpar, se a f também não for nenhuma das duas.

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