Enunciado

Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo dado. Desenhe o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em (c, f (c)). A reta secante e a reta tangente são paralelas?

f x = x           [ 0,4 ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a seguinte função e seu intervalo, respectivamente:

f x = x           [ 0,4 ]

Com isso, devemos desenhar o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em ( c ,   f   ( c ) ) .

Também devemos verificar se as retas secante e tangente são paralelas.

Para acharmos o valor c , usaremos o Teorema do Valor Médio, em que uma equação deve ser continua em um intervalo [ a , b ] e derivável em ( a , b ) . Sendo que existe um numero c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Tendo essas informações podemos calcular!!

Passo 2

A nossa função f x = x é contínua em [0,4] e derivável em (0,4), portanto,

f ' c = f 4 - f ( 0 ) 4 - 0

Substituindo o intervalo [ 0,4 ] na função,

f 0 = 0 ∴

f 0 = 0

E

f 4 = 4 ∴

f 4 = 2

Passo 3

Derivando a função, temos:

f ' x = 1 2 x 1 - 1 2 ∴

f ' ( x ) = 1 2 x

Agora, é só substituirmos:

1 2 c = 2 - 0 4 - 0 ∴

1 2 c = 1 2 ∴

2 c = 2 ∴

c = 1 ∴

c = 1

Passo 4

O gráfico dessa função é representado da seguinte forma

Com isso vemos a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em ( c ,   f   ( c ) ) , de forma que as duas são paralelas.

Resposta

c = 1 e as retas são paralelas

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