Enunciado

Encontre o limite:

44) lim x → 0 ⁡ s e n   3 x .   s e n   ( 5 x ) x ²

Passo 1

Oieee, bora

Regra do Produto: A expressão é o produto de duas funções: sin ⁡ ( 3 x )   e sin ⁡ ( 5 x ) . Podemos aplicar a regra do produto para calcular o limite se soubermos os limites de cada uma dessas funções individualmente.

Limites das Funções Individuais:

Vamos primeiro calcular os limites das funções individuais:

- Limite de sin ⁡ ( 3 x )

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 3 x ) = sin ⁡ 0 = 0

- Limite de sin ⁡ ( 5 x )

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 5 x ) = sin ⁡ 0 = 0

Regra do Produto por uma Constante: A regra do produto por uma constante nos diz que o limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante multiplicada pelo limite da função.

Aqui, temos duas funções cujos limites são zero. Portanto, o produto das duas funções também será zero.

Passo 2

Vamos manipular um pouquinho essa função e tirar esta indeterminação, ok?!

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x .   s e n   5 x x 2

= lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) x . s e n   ( 5 x ) x

Quando nós temos algo do tipo:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( x ) x = 1

Então vamos fazer aparecer algo assim, está bem?

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x x . s e n   5 x x

= lim x → 0 ⁡ 3 s e n   ( 3 x ) 3 x . 5 s e n   ( 5 x ) 5 x

Agoora sim!

3 . lim x → 0 ⁡ s e n   3 x 3 x . 5 . l i m x → 0 s e n   5 x 5 x

= 3 × 1 �� 5 × 1

= 15

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x .   s e n   ( 5 x ) x ² = 15

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