Enunciado

Suponha que P x = a 0 x n + a 1 x n - 1 + … + a n - 1 x + a n seja um polinômio de grau n , com coeficientes inteiros, isto é, a 0 ≠ 0 ,   a 1 , a 2 , … ,   a n são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for raiz de P ( x ) , então α será um divisor do termo independente a n .

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou facilitar pra vocês, ok?

Se um valor α é raiz de um polinômio P ( x ) qualquer, isso significa que se substituirmos α no lugar de x ele resultará em zero. Ou seja:

P α = 0

Certo?

Passo 2

Vou aplicar esse resultado no polinômio genérico dado no problema, saca só:

a 0 α n + a 1 α n - 1 + … + a n - 1 α + a n = 0

E agora passar o termo independente a n para o outro lado da igualdade:

a 0 α n + a 1 α n - 1 + … + a n - 1 α = - a n

E por fim, dividir dos dois lados por α (lembrando que α ≠ 0 ) :

a 0 α n α + a 1 α n - 1 α + … + a n - 1 α α = - a n α

E simplificando os termos:

a 0 α n - 1 + a 1 α n - 2 + … + a n - 1 = - a n α

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos pensar um poquinho: sabemos que os coeficientes α ,   a 0 ,   a 1 ,   … ,   a n - 1 são todos números inteiros. Então podemos concluir que o primeiro membro dessa igualdade é um número inteiro. E por igualdade, teremos que – a n α também será um inteiro.

Mas o que isso significa? Ah! Aí que tá! Se a dividão de dois números resultar em um número inteiro, quer dizer que o denominador é divisor do numerador! Assim concluímos que α é divisor de a n .

Resposta

α   é   d i v i s o r   d e   a n

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