Enunciado

Suponha que p ( x ) seja um polinômio não constante com zeros em x = a e em x = b . Explique como o Teorema do Valor Extremo junto ao Teorema de Rolle podem ser usados para mostrar que p tem algum ponto crítico entre a e b .

Passo 1

Vamos analisar que P ( x ) não é uma constante polinomial com zeros em x = 0 ; x = b . Vamos considerar o intervalo fechado a ,   b . Nós sabemos que P a = 0 = P ( b ) , com o Teorema de Valores Extremos, já uqe P ( x ) é contínuo em [ a ,   b ] , deve existir um máximo absoluto e um mínimo absoluto em [ a ,   b ] .

Agora, pelo Teorema de Rolle. Temos que P a = 0 = P ( b ) já que P x é um polinômio difernciável em qualquer lugar do domínio. Com o Teorema de Rolle, sabemos que existe um c , tal que :

P ' c = P a - P ( b ) a - b = 0

P ' c = 0

Consequentemente, o ponto c é um ponto extremo. E por isso, provamos que há um ponto crítico entre a e b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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