Enunciado

Use o Teorema do Valor Médio para provar o resultado seguinte: O gráfico de uma função f tem uma reta tangente vertical em ( x 0 , f ( x 0 ) ) se f é contínua em x 0   e f ' ( x ) tende a + ∞ ou a - ∞   quando x → x 0 +   e quando x → x 0 - .

Passo 1

Usando o Teorema do Valor Médio, nós sabemos que f é contínua no intervalo fechado a ,   b e diferenciável no intervalo aberto ( a ,   b ) . Então, há pelo menos um ponto c em ( a ,   b ) , de modo que:

f ' c = f b - f a b - a

Agora, vamos assumir que f é uma função contínua e o intervalo   x 0 ,   x 0 + h teremos um ponto tal que:

f ' c = f x 0 + h - f x 0 h

Agora, quando h → 0 , c →   x 0 .

f ' x 0 = lim h → 0 + ⁡ f x 0 + h - f x 0 h = ∞

Agora, vamos considerar o intervalo x 0 - h ,   x 0 , então há pelo menos um ponto onde:

f ' x 0 = lim h → 0 - ⁡ f x 0 - f x 0 - h h = ∞

Similarmente, podemos provar - ∞ . Agora, desde f ' x 0 , é aproximadamente ele terá uma reta tangente vertical em x = x 0   porque f ' ( x ) representa a inclinação da reta tangente.

Desse modo, a inclinação a reta vertical é infinito.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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