Enunciado

Suponha que R e S sejam duas regiões no plano x y situadas entre duas retas L 1 e L 2 paralelas ao eixo y . Suponha que cada reta paralela ao eixo y entre L 1 e L 2 intersecte R e S em segmentos de reta de comprimentos iguais. Dê um argumento informal mostrando que as áreas de R e S são iguais. (Faça hipóteses razoáveis sobre as fronteiras de R e S .)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas regiões que estão entre duas retas L 1 e L 2 , e precisamos provar que essas duas regiões são iguais.

As retas paralelas ao eixo y , tem a forma x = c o n s t a n t e . Digamos que uma dessas retas seja x = x 0 .

Se a região R estiver entre duas funções f ( x ) e g ( x ) , o comprimento dessa reta contido nessa região é f x 0 - g ( x 0 ) .

Agora digamos que essa reta na verdade é um retângulo bem fininho de largura infinitesimal d x . A área dele é dada por:

  f x 0 - g ( x 0 ) d x

Se a gente somar todos os segmentos desse tipo dentro da região, para todos os valores de x no intervalo [ L 1 , L 2 ] , a gente fica com uma integral:

∫ L 1 L 2 f x - g x d x

A gente sabe que isso na real é a área de R .

Passo 2

Mas o enunciado diz que o comprimento desses segmentos é igual para as duas regiões, e as duas estão em [ L 1 , L 2 ] , por isso, os segmentos de S também são:

f x - g x

E a área dela é igual a área de R :

∫ L 1 L 2 f x - g x d x

Resposta

Prova nos passos

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Dado que ∫ 4 9 xd x = 38 3 , quanto é ∫ 9 4 td t ?
Calcule ∫ 1 1 x 2 cos ⁡ xd x .
Calcule a integral interpretando-a em termo das áreas. ∫ 0 3 1 2 x - 1 d x
Calcule a integral interpretando-a em termo das áreas. ∫ 0 10 x - 5 d x
Avalie a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região. ∫ - 1 1 x 3 - xd x