Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = - 3 3 / 4 - 5 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ - 3 3 / 4 - 5 1 - λ 1 0 0 1

= - 3 - λ 1 - λ + 15 4 = 0

λ 2 + 2 λ + 3 4 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = - 1 2

λ 2 = - 3 2

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = - 1 2 :

A - λ I = 0

- 5 / 2 3 / 4 - 5 3 / 2 0 0

Multiplicando a primeira linha por -2 e adicionando a segunda linha :

- 5 / 2 3 / 4 0 0 0 0

Ficamos com:

- 5 2 x 1 + 3 4 x 2 = 0

- 10 x 1 + 3 x 2 = 0

10 x 1 = 3 x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 3 1 0

Para λ = - 1 / 2 o autovetor é 3 10 .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = - 3 2 :

A - λ I = 0

- 3 / 2 3 / 4 - 5 5 / 2 0 0

Multiplicando a segunda linha por -3/10 e adicionando a primeira linha :

0 0 - 5 5 / 2 0 0

Ficamos com:

- 5 x 1 + 5 2 x 2 = 0

- 10 x 1 = - 5 x 2

2 x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 1 2

Para λ = - 3 / 2 o autovetor é 1 2 .

Resposta

Para λ = - 1 / 2 o autovetor é 3 10 .

Para λ = - 3 / 2 o autovetor é 1 2 .

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