Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 1 3 3 - 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ 1 3 3 - 1 - λ 1 0 0 1

= 1 - λ - 1 - λ - 3 = 0

λ 2 - 1 - 3 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 2 = 4

λ = ± 2

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 2 :

A - λ I = 0

- 1 3 3 - 3 0 0

Multiplicando a primeira linha por 3 e adicionando a segunda linha.

Ficamos com:

- x 1 + 3 x 2 = 0

x 1 = 3 x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = 3 x 2 x 2 = x 3 1

Para λ = 2 o autovetor é 3 1 .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = - 2 :

A - λ I = 0

3 3 3 1 0 0

Multiplicando a primeira linha por - 3 e adicionando a segunda linha.

Ficamos com:

x 2 + 3 x 1 = 0

x 2 = - 3 x 1

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 - 3 x 1 = x 1 - 3

Para λ = - 2 o autovetor é 1 - 3 .

Resposta

Para λ = 2 o autovetor é 3 1 .

Para λ = - 2 o autovetor é 1 - 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam x 1 = e t t e t x 2 = 1 t Mostre que x 1 e x 2 são linearmente dependentes em cada ponto do intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Apesar disso, mostre que x 1 e x 2 são linearmente independentes em 0 ≤ t ≤ 1 .
Mostreque, se λ 1 e λ 2 são autovalores de uma matriz A autoadjunta e se λ 2 ≠ λ 1 , então os autovetores correspondentes x 1 e x 2 são ortogonais.Sugestão: Use os resultados dos Problemas 26(c) e 32
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 1 i - i 1
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 5 - 1 3 1
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = - 2 1 1 - 2