Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = - 2 1 1 - 2

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ - 2 1 1 - 2 - λ 1 0 0 1

= - 2 - λ - 2 - λ - 1 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = - 2 2 = - 1

λ 2 = - 6 2 = - 3

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = - 1 :

A - λ I = 0

- 1 1 1 - 1 0 0

Adicionando a segunda linha à primeira linha:

- 1 1 0 0 0 0

Ficamos com:

- x 1 + x 2 = 0

x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 1 1

Para λ = - 1 o autovetor é 1 1 .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = - 3 :

A - λ I = 0

1 1 1 1 0 0

Multiplicando a primeira linha por 13 e adicionando e segunda linha:

1 1 0 0 0 0

Ficamos com:

x 1 + x 2 = 0

x 1 = - x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 1 1 - 1

Para λ = - 3 o autovetor é 1 - 1 .

Resposta

Para λ = - 1 o autovetor é 1 1 .

Para λ = - 3 o autovetor é 1 - 1 .

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