Enunciado

Suponha um tanque na forma de um cilindro circular reto de raio 2   m e altura 10   m . O tanque está inicialmente cheio de água, e a água vaza por um orifício circular de raio 1 2 c m no fundo. Use as informações do Problema 7 para obter a equação diferencial para a altura h da água em qualquer instante de tempo t .

Passo 1

Vamos lá, a primeira coisa que a gente tem que fazer para entender o exercício, é visualizar o que ta acontecendo ali. Mas pode relaxar que eu já trouxe o desenhinho pra gente sacar qual é a desse problema.

O tal do tanque na forma de um cilindro circular reto é assim olha:

E o que acontece aqui é que esse tanque ta cheio de água, mas essa água ta vazando por aquele orifício ali embaixo, sacou?

Então agora pensando no tanque com água:

Concorda comigo que conforme a água vaza pelo orifício, a altura da água vai diminuindo? É exatamente essa variação da altura h da água que vai ser a base da nossa equação diferencial :P Então queremos encontrar uma equação diferencial que nos dê d h d t , bora lá!

Passo 2

O enunciado nos disse pra utilizar as informações do problema 7, e lá ele fala pra gente que, considerando o atrito, o volume V w de água que sai do tanque por segundo é aproximadamente 0,6 . A 0 . 2 . g . h , ou seja:

d V w d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h       ( I )

Onde o sinal de menos quer dizer que o volume ta diminuindo, A 0 é a área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do tanque.

Mas isso aí é d V w d t , como podemos fazer pra chegar no d h d t ?

Passo 3

Vamos pensar no volume que a água ocupa dentro do tanque, ele pode ser dado por:

V w = 2 . π . r w . h

Como 2 . π . r w é a área da superfície da água, ou seja, a parte que não depende da sua altura, vamos chamar de uma variável A w

V w = A w . h

Derivando os dois lados em relação a t :

d V w d t = d A w . h d t

Ta bom, mas acabamos de ver que A w não depende da altura h w e também não depende de t , então ele vai ser uma constante, podendo sair pra fora da derivada:

d V w d t = A w d h d t     ( I I )

Boaaa, encontramos outra expressão pra d V w d t que envolve o que queremos: d h d t !!

Agora é só substituir isso lá na expressão ( I ) .

Passo 4

Pelos dados do exercício 7, temos:

d V w d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h     ( I )

E pelas manipulações que fizemos no passo 3, temos:

d V w d t = A w d h d t     ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

A w d h d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h

d h d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h A w

Ihuuuuu, encontramos a expressão para d h d t , arrasamos né??

Agora é só substituir os valores dados pelo exercício!!

Passo 5

Beleza, encontramos que a expressão para a altura h da água em função do tempo é

d h w d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h A w

Agora vamos substituir os valores.

Temos que A 0 é a área do orifício. Como o orifício é circular, sua área vai ser dada por π . r 0 ² , onde r 0 é o seu raio em m , então antes vamos fazer a conversão:

r 0 = 0,5   c m

r 0 = 0,005   m

r 0 = 5.10 - 3   m

Assim,

A 0 = π . ( 5.10 - 3 ) ²

A 0 = π . 2,5.10 - 5   m ²

E por fim, o A w é a área da superfície da água, que vai ser dada por π . r w ² , sendo que r w é o próprio raio do tanque, certo? Então, r w = 2   m

Portanto:

A w = π . 2 ²

A w = 4 π   m ²

Passo 6

Substituindo os dados do passo 5 na expressão de d h d t :

d h d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h A w

d h d t = - 0,6 . π . 2,5.10 - 5 . 2 . g . h 4 π

De acordo com o exercício 7, temos g = 10   m / s 2

d h d t = - 1,5 . 10 - 5 . 2 . 10 . h 4

d h d t = - 1,5 . 10 - 5 . 20 . h 4

Ufaa, encontramos!!

Resposta

d h d t = - 1,5 . 10 - 5 . 20 . h 4

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