Enunciado

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0 ;     y = c 1 sen ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se     y = c 1 sen ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x   é solução da equação y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é y ' , y ' ' e   y ' ' ' . Vamos derivar então! Vamos lá...

Passo 2

y = c 1 sen ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x

Derivando...

y ' = 3 c 1 cos ⁡ 3 x - 3 c 2 sen ⁡ 3 x + 4 e x

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   - 9 c 1 sen ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x

E de novo...

y ' ' ' =   - 27 c 1 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 sen ⁡ 3 x + 4 e x

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0

- 27 c 1 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 sen ⁡ 3 x + 4 e x - - 9 c 1 sen ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x + 9   3 c 1 cos ⁡ 3 x - 3 c 2 sen ⁡ 3 x + 4 e x - 9 c 1 sen ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x = 0

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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