Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 7 )   h x = x x + 3 1 2  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

h x = x x + 3 1 2  

h ' x = ( x + 3 ) 1 2 + x 2 x + 3 - 1 2  

h ' ' x = 1 2 ( x + 3 ) - 1 2 - x 4 x + 3 - 3 2

Achando os pontos críticos:

h ' ( x ) = ( x + 3 ) 1 2 + x 2 x + 3 - 1 2 = 0

x ' = - 2

Como a função não existe para x = - 3 , este também é um ponto crítico.

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

h ' ' x = 1 2 ( x + 3 ) - 1 2 - x 4 x + 3 - 3 2 = 0

x ' = - 6

É importante notarmos que a função não está definida para valores menores que -3, sendo assim os pontos críticos são:

x ' = - 2     e     x ' ' = - 3

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' - 3 não existe, então não podemos avaliar pelo teste da derivada segunda. A derivada primeira neste ponto também não existe, mas a função decresce para valores maiores que -3, indicando um ponto máximo nesta região. Com f ' ' - 2 > 0 concluímos que este é um ponto mínimo. A mesma conclusão podemos chegar olhando a derivada primeira, já que a função decresce ate -2 e cresce em seguida. Para todos os pontos temos concavidade para cima, ou seja, não há pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Máximo Relativo: x = - 3 ;

Mínimo Relativo: x = - 2 ;

Não há pontos de inflexão;

O gráfico possui concavidade para cima para: x > - 3 .

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