Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 50
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Se , onde e , mostre que
Passo 1
Derivando parcialmente em relação a
Derivando novamente, para isso temos que aplicar a regra do produto e cadeia
Derivando parcialmente em relação a
Derivando novamente, aplicando a regra do produto e da cadeia
Passo 2
Somando , podemos ver que se cancelam, já que em uma derivada aparecem negativos e em outra positivo, então
Os temos e tembém se cancelam
Dividindo por
Como
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .
10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c
8. Seja v r , θ = u ( x , y ) , onde x = r cos θey = rs e nθ . Verifique que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 .