Enunciado

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

Passo 1

Derivando parcialmente u em relação a s

∂ u ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

∂ u ∂ s = ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

Derivando novamente, para isso temos que aplicar a regra do produto e cadeia

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x ∂ s + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ y ∂ s e s cos ⁡ t + ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ y ∂ s + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ∂ x ∂ s e s sen ⁡ t + ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x ∂ y e s sen ⁡ t e s cos ⁡ t + ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e s sen ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x e s cos ⁡ t e s sen ⁡ t + ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x ∂ y e 2 s sen ⁡ t cos ⁡ t + ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x e 2 s cos ⁡ t sen ⁡ t + ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

Derivando parcialmente u em relação a t

∂ u ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ u ∂ t = - ∂ f ∂ x e s sen ⁡ t + ∂ f ∂ y e s cos ⁡ t

Derivando novamente, aplicando a regra do produto e da cadeia

∂ 2 u ∂ t 2 = - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x ∂ t + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ y ∂ t e s sen ⁡ t - ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ y ∂ t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ∂ x ∂ t e s cos ⁡ t - ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

∂ 2 u ∂ t 2 = - - ∂ 2 f ∂ x 2 e s sen ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x ∂ y e s cos ⁡ t e s sen ⁡ t - ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e s cos ⁡ t - ∂ 2 f ∂ y ∂ x e s sen ⁡ t e s cos ⁡ t - ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t - ∂ 2 f ∂ x ∂ y e 2 s cos ⁡ t sen ⁡ t - ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t - ∂ 2 f ∂ y ∂ x e 2 s sen ⁡ t cos ⁡ t - ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t

Passo 2

Somando ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 , podemos ver que ∂ f ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ f ∂ y e s sen ⁡ t se cancelam, já que em uma derivada aparecem negativos e em outra positivo, então

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x ∂ y e 2 s sen ⁡ t cos ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x e 2 s cos ⁡ t sen ⁡ t

+ ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t - ∂ 2 f ∂ x ∂ y e 2 s cos ⁡ t sen ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t - ∂ 2 f ∂ y ∂ x e 2 s sen ⁡ t cos ⁡ t

Os temos ∂ 2 f ∂ x ∂ y e 2 s sen ⁡ t cos ⁡ t e ∂ 2 f ∂ y ∂ x e 2 s cos ⁡ t sen ⁡ t tembém se cancelam

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t

Dividindo por e 2 s

e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ x 2 sen 2 ⁡ t + ∂ 2 f ∂ y 2 cos 2 ⁡ t

e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) + ∂ 2 f ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2

Como u = f ( x , y )

e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .
10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c
8. Seja v r , θ = u ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θey = rs e nθ . Verifique que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 .