Enunciado

Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Expresse d y d x em termos de x e y .

a) x 2 y + s e n   y = x b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = 3

Passo 1

A questão pede mostrarmos que as equações dadas definem alguma função diferenciável y = y ( x ) . Para isso, temos que recorrer ao teorema da função implícita.

O primeiro passo é definir as funções:

F x , y = x 2 y + s e n   y - x

G x , y = y 4 + x 2 y 2 + x 4 - 3

Para que as hipóteses do teorema sejam válidas, devemos achar pelo menos um ponto ( x 0 , y 0 ) para cada função tal que F x 0 , y 0 = 0 (ou G x 0 , y 0 = 0 ) e que

∂ F ∂ y x 0 , y 0 ≠ 0             o u   ∂ G ∂ y x 0 , y 0 ≠ 0

Passo 2

Vamos fazer primeiro o item (a) usando F x , y = x 2 y + s e n   y - x . Vamos escolher

x 0 , y 0 = 0,0

Assim, temos que

F π , 1 π = 0 + 0 - 0 = 0

Além disso,

∂ F ∂ y = x 2 + cos ⁡ y ⇒ ∂ F ∂ y 0,0 = + 1 ≠ 0

Como vale o teorema, a equação F x , y = 0 define implicitamente uma função y = y ( x ) . Além disso:

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y = - 2 x y - 1 x 2 - cos ⁡ y

Passo 3

Já no item (b) com G x , y = y 4 + x 2 y 2 + x 4 - 3 , vamos escolher x 0 , y 0 = ( 1,1 ) . Note que

G 1,1 = 0

Derivando,

∂ G ∂ y = 4 y 3 + 2 x 2 y ⇒ ∂ G ∂ y 1,1 = 4 + 2 = 6 ≠ 0

Logo, vale o teorema e a equação G x , y = 0 define alguma função do tipo y = y ( x ) , cuja derivada será:

d y d x = - ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y = - 2 x y 2 + 4 x 3 4 y 3 + 2 x 2 y = - x y 2 + 2 x 3 2 y 3 + x 2 y

Resposta

a)

d y d x = - 2 x y - 1 x 2 - cos ⁡ y

b)

d y d x = - x y 2 + 2 x 3 2 y 3 + x 2 y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P = b L α K β satisfaz a equação L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K = α + β P
Use a derivação implícita para encontrar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 - y 2 + z 2 - 2 z = 4
A equação de van der Waals para n mols de um gás é P + n 2 a V 2 V - n b = n R T onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constant
Use a derivação implícita para encontrar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . y z + x ln ⁡ y = z 2
Use a derivação implícita para encontrar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . e z = x y z