1. Calcule o comprimento da curva dada:

c)

gamma(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)), t ∈ [0, pi]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Que nos dá o comprimento da curva γ entre os pontos a , b . Primeiro vamos achar γ ' t .

γ t = cos ⁡ t ,   s e n t ,   e - t

Derivando,

γ ' t = - s e n t , cos ⁡ t ,   - e - t

Não esquece da regra da cadeia!

Passo 2

Agora, vamos encontrar γ ' t e em seguida integrar.

γ ' t = - s e n ( t ) 2 + cos ⁡ t 2 + - e - t 2

Assim,

γ ' t = s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + e - 2 t

Da trigonometria:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Logo,

γ ' t = 1 + e - 2 t

Passo 3

Integrando, temos:

L γ = ∫ 0 π γ ' t d t

Isto é,

L γ = ∫ 0 π 1 + e - 2 t d t

Como essa raiz está meio feia, vamos fazer a seguinte substituição:

e - t = t g θ

Derivando,

e - t d t = sec 2 ⁡ θ d θ

Isolando d t :

d t = - sec 2 ⁡ ( θ ) e - t d θ

Como e - t = t g θ :

d t = - sec 2 ⁡ ( θ ) t g ( θ ) d θ

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração.

t = 0 :

e - 0 = t g θ

Então,

t g θ = 1 → θ = π 4

t = π :

t g ( θ ) = e - π  

Então,

θ = a r c t g e - π

Passo 4

Nossa integral fica o seguinte:

L γ = ∫ π 4 a r c t g e - π 1 + t g 2 θ - sec 2 ⁡ θ t g θ d θ

Como 1 + t g 2 θ = s e c 2 ( θ ) :

L γ = - ∫ π 4 a r c t g e - π sec 3 ⁡ θ t g θ d θ

L γ = - ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) s e c 3 θ t g θ d θ

Reescrevendo o termo integrante:

s e c 3 θ t g θ = sec ⁡ θ t g θ sec 2 ⁡ θ →   s e c 3 θ t g θ = csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ

Logo,

L γ = - ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Usando que 1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ :

L γ = - ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) csc ⁡ θ 1 + t g 2 θ d θ

Isto é,

L γ = - ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) ( csc ⁡ θ + t g θ sec ⁡ θ ) d θ

Separando em dois termos:

L γ = - ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) csc ⁡ θ d θ + ∫ π 4 a r c t g ( e - π ) t g θ sec ⁡ θ d θ

Não esquece: ∫ csc ⁡ x d x = - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + c

Não esquece: ∫ t g x sec ⁡ x d x = s e c ( x ) + c

L γ = - l n | c s c θ + c o t g ( θ ) π 4 a r c t g e - π + s e c ⁡ ( θ ) π 4 a r c t g e - π

Fazendo as contas:

L γ = π + 2 - 1 + e - 2 π + ln ⁡ 1 + 1 + e - 2 π 1 + 2

Resposta

L γ = π + 2 - 1 + e - 2 π + ln ⁡ 1 + 1 + e - 2 π 1 + 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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